Dice el Dr. Esptiben Rojas Bernilla que,
Descartes, fundamentalmente era un filósofo racionalista, llegó a escribir otras obras importantes, en 1641 escribió Meditaciones de Filosofía.""
Sin lugar a dudas, la obra La Geometría escrita por el matemático y filósofo René Descartes (1596 -1650), establece un antes y un después en el desarrollo matemático.
Esta obra es parte de El discurso del método, publicado en 1629, bajo la idea de dirigir la razón, en busca de la verdad en la ciencia. Bajo esta idea filosófica busca establecer mecanismos para resolver algunos problemas geométricos que los griegos no fueron capaces de resolver, por ejemplo, la trisección de un ángulo, para ello evitó restringirse a la regla y el compás, como lo hacían los griegos por cuestiones metafísicas.
Desde el punto de vista matemático, la obra de René Descartes tenía dos características esenciales:
No hacia distinción entre números y cantidades, usando símbolos para representarlas indistintamente.
Uso del método analítico, es decir, descomponer el todo en sus partes y luego recomponerlo a partir de esas mismas partes.
Para Descartes, la geometría de Euclides restringe la imaginación al apoyarse en figuras, mientras que el álgebra es oscura al poseer un gran número de reglas, se propuso reducir los problemas geométricos a ecuaciones algebraicas. Constituyendo un cambio cualitativo en el estudio de la geometría.
La obra La Geometría consta de tres partes en 120 páginas:
Parte I. Círculos y rectas: Donde generaliza las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces para magnitudes, superando a los griegos, para ello introduce una unidad referencial, válido solo para un problema específico, introduce el método de planteo de ecuaciones e incorpora las coordenadas, y plantea por primera vez el concepto de lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen determinada propiedad.
Parte II. Líneas curvas: Analiza la naturaleza de las líneas curvas, escoge geométricamente aquellas curvas que admiten ecuación algebraica. No solo usa la regla y el compás, sino también aquellas construidas con cierto aparato articulado que permita expresarla a través de una ecuación. También encuentra normales y tangentes a una curva.
Parte III. Sobre construcción de problemas de sólidos y supersólidos: Aquí plantea la solución de las ecuaciones obtenidas en la Parte II, aborda la trisección del ángulo y la duplicación del cubo, que lo conlleva a una ecuación de tercer grado.
Para resolver estas ecuaciones algebraicas plantea el Teorema Fundamental del Álgebra, sin demostrarlo, solo lo conjetura, porque le es útil para sus propósitos.
En general establece reglas para combinar, factorizar, transformar y resolver ecuaciones, muy similarmente a los métodos actuales, aunque con ciertas limitantes notacionales, solo consideró soluciones positivas, a las soluciones negativas les llamaba "falsas".
La metodología pedagógica de esta obra, tuvo un alcance decisivo en el posterior desarrollo del cálculo diferencial e integral, otros grandes matemáticos como Pierre de Fermat, Bonaventura Cavalieri, John Wallis, Isaac Newton, Gottfried Leibniz etc., se beneficiaron de esta magnífica obra, para sus posteriores investigaciones.
Descartes, fundamentalmente era un filósofo racionalista, llegó a escribir otras obras importantes, en 1641 escribió Meditaciones de Filosofía, en 1644, Principios de Filosofía y en 1649, Las pasiones del alma.
Por sus ideas filosóficas, en general privilegiaba la razón por encima de la fe cristiana, fue perseguido, siempre vivió atemorizado, al enterarse de que Galileo casi muere en la hoguera, por defender sus ideas sobre la tierra.
Para estar alejado de las persecuciones acepta la invitación de Catalina I de Suecia para hacerse cargo de su educación.
La reina tenía la costumbre de solicitarle las clases a las cinco a.m., en el frío intenso de Estocolmo, el cual terminó por causarle una neumonía, murió el 11 de febrero de 1650 a los 53 años.
Existen algunas evidencias que establecen su muerte por envenenamiento con arsénico, como lo cuenta el holandés Johan Van Wullen en su libro El asesinato de Descartes.
En 1676, su cuerpo fue exhumado, encontrándose el cadáver sin su cabeza, el cuerpo fue llevado a París. Posteriormente, el cráneo de Descartes fue encontrado y se conserva en el Museo del Hombre en París. En 1935 se llamó Descartes, en su honor, a un cráter lunar.
Su ciudad natal también fue bautizada como Descartes.
Resuelto el problema geométrico que Descartes dejó sin solución
Un grupo de matemáticos australianos resuelve un antiguo enigma geométrico con herramientas de la física moderna, revelando que las ideas de Descartes estaban más cerca del futuro de lo que él imaginó.
René Descartes fue mucho más que el autor del célebre "pienso, luego existo". Además de ser uno de los grandes fundadores de la filosofía moderna, dejó su huella profunda en la historia de las matemáticas. En 1643, en una carta a la princesa Isabel del Palatinado, planteó un problema geométrico que parecía estar al alcance de sus flamantes coordenadas cartesianas. Pero no logró resolverlo. Durante casi cuatro siglos, el misterio quedó abierto, desafiando a generaciones enteras de matemáticos.
Resuelto el problema geométrico que Descartes dejó sin solución hace más de 380 años: un puente entre la filosofía del siglo XVII y la física cuántica
Ahora, en 2025, investigadores de la Universidad de Monash (Australia) han logrado resolver ese viejo reto, y lo han hecho con herramientas matemáticas que ni Descartes ni sus contemporáneos habrían podido imaginar: los espinores, usados en física cuántica y relatividad. El hallazgo, publicado en la Journal of Geometry and Physics, no solo extiende el Teorema de los círculos de Descartes, sino que establece un puente inesperado entre la filosofía del siglo XVII y los conceptos más abstractos de la física moderna.
Un teorema clásico con una cuenta pendiente
El llamado Teorema de los círculos de Descartes describe cómo calcular el radio de un cuarto círculo que es tangente a otros tres. Es una fórmula elegante que relaciona los radios mediante una sencilla expresión cuadrática. Sin embargo, Descartes no logró generalizar esta relación a configuraciones más complejas, como grupos de cinco, seis o más círculos mutuamente tangentes.
Durante siglos, los matemáticos trataron de ampliar ese resultado. Aunque surgieron versiones parciales y aproximaciones, nadie había encontrado una fórmula general que funcionara para cualquier número de círculos en el plano. El problema permanecía abierto, latente, como una herida matemática sin cerrar.
Lo notable del trabajo liderado por Daniel Mathews y su alumno Orion Zymaris es que no se limitaron a buscar soluciones dentro del ámbito de la geometría clásica, sino que recurrieron a estructuras matemáticas utilizadas en la física teórica para describir partículas subatómicas y fenómenos relativistas. Este enfoque permitió romper el techo que había limitado la expansión del teorema original durante 380 años.
Fuente: Wikipedia
Espinores: la clave cuántica para resolver un problema del siglo XVII
El avance técnico más sorprendente del artículo reside en el uso de espinores, unos objetos matemáticos que emergen en la teoría cuántica del espín y en la relatividad general. Estos elementos permiten representar rotaciones en el espacio de una forma que no es posible usando vectores normales. Su aplicación en geometría es poco habitual, pero en este caso fue decisiva.
Los autores señalan que "usamos una versión de espinores desarrollada por Roger Penrose y Wolfgang Rindler, que aplicaron a la teoría de la relatividad". Este tipo de herramientas suelen estar muy alejadas del dominio tradicional de los teoremas de círculos, pero en manos de estos investigadores han permitido modelar configuraciones complejas de círculos tangentes, llamadas "flores de n-círculos".
La idea básica es que cada círculo de la configuración puede representarse mediante una entidad algebraica que se comporta bien bajo ciertas transformaciones geométricas. Así, los espinores actúan como una especie de "lenguaje" que unifica y simplifica las relaciones entre los círculos, independientemente de cuántos haya. Esta es la clave para derivar una fórmula general.
Izquierda: una flor de 3 círculos. Derecha: una flor de 5 círculos
¿Qué es un espínor?
Un espínor es un objeto matemático que se utiliza para describir ciertos comportamientos de partículas en física cuántica, especialmente el espín (de ahí el nombre). A diferencia de los vectores, que giran de forma "intuitiva" cuando rotamos un sistema de coordenadas, los espinores tienen una transformación más compleja: por ejemplo, al girar 360°, un espínor no vuelve exactamente a su estado original, sino que necesita 720° para hacerlo. Esto puede sonar extraño, pero es una propiedad esencial en la mecánica cuántica.
En física, los espinores son fundamentales para describir partículas como los electrones, que tienen espín ½. Se usan en formulaciones avanzadas como la ecuación de Dirac, que combina mecánica cuántica y relatividad.
La anécdota original es tan fascinante como reveladora. En 1643, Descartes se carteaba con la princesa Isabel del Palatinado, una mujer interesada en filosofía y ciencia. En una de esas misivas, le planteó un problema de geometría que, según él, era resoluble gracias a su recién creado sistema de coordenadas. Pero pronto se dio cuenta de que la dificultad era mayor de lo esperado. Reformuló el problema para hacerlo más asequible, y de ahí nació el actual teorema de los cuatro círculos.
Lo que nunca logró fue encontrar una forma general para más de cuatro círculos, y eso quedó como una deuda pendiente. La solución de Mathews y Zymaris puede verse, entonces, como una reivindicación tardía del interés filosófico de Descartes por la geometría, y también como una muestra de hasta qué punto las herramientas del siglo XXI permiten cerrar problemas del pasado.
El trabajo no solo resuelve el problema original, sino que lo enmarca en un marco más amplio y riguroso. Los autores explican que "esta es la primera extensión del resultado que da una ecuación explícita para un número arbitrario de círculos en el plano"
NO SE DEBE SER DÉBIL, SI SE QUIERE SER LIBRE
